После окончания 7 классов школы работал трактористом. В июне 1942 года был призван в армию и с того же месяца участвовал в боях Великой Отечественной войны.
 
27 июня 1944 года во время наступления на Карельском перешейке в районе села Лампилия (Выборгский район, Ленинградская область) рота, в которой служил Шестаков, столкнулась с ожесточенным сопротивлением противника. Дважды гвардейцы поднимались в атаку, но безуспешно. Продвижение советских войск сдерживал вражеский пулемет, укрытый за гранитными валунами.
 
Видя критичность ситуации, Константин Шестаков вызвался уничтожить огневую точку. Под прикрытием огня он подполз к пулемету, уничтожил его расчет гранатами, захватил оружие и открыл огонь по противнику, уничтожив около 50 немецких солдат и офицеров.
 
Враг предпринял попытку вернуть утраченную позицию. Будучи тяжело ранен, Шестаков продолжал вести бой до последнего патрона. Когда боеприпасы закончились, три немецких солдата попытались взять его в плен. Собрав последние силы, Константин метнул во врагов гранату, уничтожив их и погибнув сам. Вдохновленные подвигом Шестакова, советские солдаты с новой силой пошли в атаку и овладели высотой.
 
За проявленные мужество и героизм Константину Константиновичу Шестакову 24 марта 1945 года посмертно было присвоено звание Героя Советского Союза. Похоронен в братской могиле № 30 воинского захоронения Петровка на 11-м километре шоссе Выборг-Светогорск.