Константина Ивановича родился в октябре 1918 года в деревне Овсище Петроградской губернии (ныне Сланцевский район Ленинградской области), в семье, где ценность труда была основополагающей. Получив профессию слесаря и работая на ТЭЦ-5, Константин Иванович, казалось, был призван к созиданию, а не к ратным подвигам. Однако судьба распорядилась иначе.

С июня 1941 года жизненный путь Константина Ивановича неразрывно связан с фронтом. В 1942 году он вступает в ряды Коммунистической партии, проходя боевое крещение от командира орудия танка Т-34 до командира тяжелого танка КВ-1. Февраль 1942 года — первые сражения под Балаклеей, где молодой танкист проявляет отвагу и воинское мастерство, уничтожая вражескую технику и живую силу, за что удостоен медали «За отвагу». Июнь 1942 года — героическая оборона у села Татьяновка. Здесь Савельев демонстрирует выдающиеся командирские качества и высокий профессионализм, уничтожая десять вражеских танков и значительное количество другой техники, за что награждается орденом Отечественной войны 1-й степени и получает офицерское звание.

Июль 1942 года — Сталинградский фронт. В составе 133-й танковой бригады, полностью перевооруженной на мощные КВ-1, Константин Иванович участвует в ключевых сражениях, в том числе у разъезда 74-й км, где его экипаж вносит весомый вклад в общую победу, уничтожая восемь танков противника. За этот подвиг он награжден орденом Красного Знамени. В сентябре 1942 года, в ожесточенных боях под Бекетовкой, Савельев получает тяжелое ранение, но, превозмогая боль, продолжает сражаться до завершения боя.

С июня 1941 по сентябрь 1942 года экипаж под командованием Константина Ивановича уничтожает значительное количество вражеской техники и живой силы. Сам командир трижды ранен. В ноябре 1942 года его представляют к высокому званию Героя Советского Союза. Указом от 8 февраля 1943 года звание Героя присвоено, но получить заслуженную награду Константин Иванович не успел.
 
 В марте 1943 года, в ходе Севской операции, в боях за деревню Буковище, командуя взводом легких танков Т-70М, гвардии старший лейтенант Савельев Константин Иванович героически погибает в неравном бою с превосходящими силами противника.