Родился в семье рабочего. После окончания 7-летней школы и медицинского техникума работал фельдшером. В 1940 году был призван в Красную Армию и служил санинструктором в пограничных войсках на северо-западной границе.
 
С первых дней Великой Отечественной войны Анатолий Кокорин находился на фронте. 4 августа 1941 года в районе станции Хийтола (Лахденпохский район, Карелия) 6-я рота 14-го мотострелкового полка НКВД вступила в бой с превосходящими силами финских войск. В ходе тяжелого боя рота понесла большие потери.
 
Санинструктор Кокорин под огнём противника оказывал помощь раненым, вынося их в укрытие. Он также помогал вести бой старшему батальонному комиссару Н. М. Руденко, который принял командование ротой. К исходу дня в строю остались только Руденко и Кокорин. Выполнив приказ комиссара, Кокорин перенес раненых в безопасное место. Вернувшись, он продолжал бой вместе с Руденко, пока тот не был тяжело ранен.
 
Когда Кокорин перевязывал раненого комиссара, на них напала группа финских солдат. Видя, что взять его живым не удастся, Анатолий Кокорин подорвал себя гранатой вместе с окружившими его врагами.
 
За свой подвиг 26 августа 1941 года Анатолий Александрович Кокорин посмертно был удостоен звания Героя Советского Союза. Он стал первым медицинским работником, получившим это высокое звание в годы Великой Отечественной войны. В городе Боровичи именем героя названы медицинское училище и улица.