11 февраля 1944 года во время форсирования реки Нарвы у деревни Долгая Нива (Сланцевский район, Ленинградская область) Гривцов лично проверил прочность льда, определив возможность переправы. Несмотря на риск провалиться, он убедил командование в необходимости переправить артиллерию по льду. Когда другие водители отказались, Гривцов, под наблюдением ошеломленных немцев, сам переправил орудие на другой берег, с ходу открыв огонь по вражеским позициям. Вдохновляя своим примером, он совершил несколько рейсов, обеспечив переправу всей батареи.

18 февраля 1944 года Александр Гривцов погиб, выполняя еще один опасный приказ. Он вызвался вывезти из-за линии фронта две автомашины и пушку, расчет которой погиб в бою. Вместе с водителем Богдановым, под шквальным огнем противника, Гривцов выполнил задачу, но ценой собственной жизни.

За свой беспримерный героизм и самоотверженность Александр Иванович Гривцов 1 июля 1944 года посмертно был удостоен звания Героя Советского Союза. Награжден орденом Ленина и медалями. Память о герое увековечена в названии улицы в Санкт-Петербурге (переулок Гривцова) и на стене памяти Высшего военного автомобильного командного училища в Уссурийске.