Был призван в армию в 17 лет, в 1943 году, во время Великой Отечественной войны. Служил артиллерийским разведчиком
Имя Тимофея Елкова вписано в историю авиации Чукотки как одного из её пионеров. Родившись в селе Уэлен в 1914 году, он посвятил свою жизнь служению людям и своей стране. До войны его путь был отмечен активной общественной деятельностью: работал переводчиком, был секретарём Чукотского райкома комсомола, принимал участие в героическом спасении челюскинцев. Небо манило его, и, окончив аэроклуб и Тамбовскую авиашколу, он связал свою судьбу с авиацией.
В первые годы Великой Отечественной войны Тимофей Елков обеспечивал жизненно важные авиатранспортные перевозки на восточном секторе Северного морского пути, работая в аэропорту на мысе Шмидта. Затем, после окончания Сасовского авиационного училища, его направили на Ленинградский фронт. Там, в небе над осаждённым городом, он проявил мужество и отвагу, за что был награждён орденом Красной Звезды.
Тимофей Елков геройски погиб 26 июня 1944 года в разгар Выборгской наступательной операции. Память о нём живёт на его родной земле. В посёлке Шахтёрский на Чукотке его именем названа центральная улица, где в 1997 году был установлен памятник отважному лётчику. После закрытия Шахтёрского памятник был перенесён в посёлок Угольные Копи в 2013 году, чтобы новое поколение помнило о подвиге Тимофея Елкова, одного из первых покорителей чукотского неба.